Sayı nedir?

Sayı bir düşünce aracıdır, bir fikirdir. Sayılarla çok farklı eşya kümelerini karşılaştırabiliriz. Sayılar sayma işleminin arkasındaki fikirdir. Fiziksel olarak, bir şey sayılarla ifade edilemiyorsa, bilim değildir.

"If something exists, it exists in an amount, and it can be measured."

Rakam nedir?

Rakamlar sayıları göstermek için kullandığımız sembollerdir.

Basamak nedir?

Basamak sayıların alfabesidir.

Sayı sistemimizin kaynağı nedir?

Bugün kullandığımız rakamlara Hint-Arap rakamları denir. Hintliler, Mısırlılar, Persler ve Arapların kullanıp geliştirdikleri işaretlerdir. Sayı sisteminin ülke ülke dolaşan tüccarların elinde geliştiği ve böylece de bir çok kaynaktan çıktığı tahmin ediliyor. Fakat en büyük sayıları rakamlar kullanarak ifade eden ilk insanlar Hintlilerdir. (TÜBİTAK tarafından tercüme ettirilip satışa sunulan, Georges Ifrah'ın Rakamların Evrensel Tarihi ilgilenenlere şiddetle önerilir.)

Sıfır nereden geldi?

Sıfır Hintlilere atfedilir. Onlar sıfırı bugün bizim kullandığımız biçimde kullanan ilk insanlardır. Hintliler sıfırı küçük bir daire ile gösterirlerdi. Bu dairenin adı shunya ("boşluk, boş", Sanskrit) idi. Bu kelime miladi 800'lerde Arapça'ya sıfr olarak tercüme edildi. İngilizce'de biraz daha değişmiş haliyle, zero olarak halen yaşamaktadır.
Bu arada "sıfır = 0", "cifir = kutsal metinlerden gematria (ebced), temurah (permutasyon) ve notariqon (akrostiş) usulleriyle okült (batıni, içrek, gizli) bilgiler çıkarma yöntemi, yani gizemin matematiği" ve "cebir = matematiğin bir dalı" kelimeleri arasındaki benzerliğe dikkat ediniz. Halen kullandığımız "şifre" kelimesi bunların birinden ya da hepsinden birden etkilenerek geliyor olmalı.
Bir anda görmek için hepsini tablo halinde yazalım:

Sıfır rakamının kronolojik gelişimi

•  M.Ö. 3000 yılları: Eski Mısırlılar, onluk sistemi bilmediklerinden, sıfır anlamını ifade eden bir sembol (işaret) kullanmamışlardır.

•  M.Ö. 700-500 yılları : Mezopotamyalılar, sadece astronomi metinlerinde, sıfır anlamına gelecek, özel bir işareti sürekli olarak kullanmışlardır.

•  M.S. 2. yüzyıl : Eski Yunan'da, Batlamyos'un astronomi metinlerinde, Yunan alfabesinde görülen, içi boş anlamını ifade eden "0" şeklinde bir harf kullanmıslardır. Ancak, matematiklerinde, bu harfi (işareti) kullanmadıklarını, kaynaklar açık olarak belirtmektedir.

•  M.S. 400 yılları : Eski Hint Dünyasında, ilk defa, bugünkü ifadeyle sıfır anlamına gelen, "0" ve "." şeklinde işaret (sembol) görülmeye başlamıştır.

•  M.S. 632 : Eski Hint alimi Brahmagupta'nin astronomi ile ilgili olan Siddhanta adlı eserinde, dokuz ayrı ve sıfır rakamı ile hesap yapmayı gösteren kaideler belirtilmiştir.

•  M.S. 830 : İslam Dünyasının önde gelen matematik alimi Harezmi tarafından, dokuz ayrı rakam dahil sıfır rakamı ile birlikte aritmetik işlemlerin nasıl yapılacağı açık olarak gösterilmiştir.

•  M.S. 1100 yılları : Avrupa matematik dünyasında, yaygın olarak kullanılmaya başlar.

"+" ve "-" işaretleri nereden geldi?

"+" işareti Latin "et = ve, ekle" kelimesinden geliyor. Bu iki işaret 15. yüzyılda ticari kutu veya sandıkların ağırlıklarının fazla veya az olduklarını göstermek için kullanılırdı. 40 sene içinde muhasebeciler ve matematikçiler onları kullanmaya başladı.

"=" işaretini kim keşfetti?

1557 de Robert Recorde aynı uzunluktaki iki paralel çizginin eldeki diğer şeyler kadar eşit olduğuna karar vermişti.

Mükemmel sayı nedir?

Kendisi hariç, çarpanlarının toplamına eşit olan sayıya mükemmel sayı denir.

Örnek:

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Asal sayılar:

Kendisinden ve birden başka hiç bir sayıya tam olarak bölünemeyen sayılar. 2, 3, 5, 7, ... gibi.

1 niçin asal değildir?

1 asal kabul edilseydi, herhangi bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde birden fazla biçimde ifade edilebilirdi. Bu matematikte kabul edilmez.

Asal çarpan:

Bir sayının asal sayı çarpanı.

Bir sayının 0. kuvveti niye 1'dir de sıfır veya başka herhangi bir sayı değildir?

Bir sayının sıfırıncı kuvveti 1 olarak tanımlanır, böylece sayının her kuvveti öncekinden bir çarpan daha büyük olur. Yani,
20 = 1
21 = 2 = 2 x 1
22= 4 = 2 x 2
23 = 8 = 2 x 4
24= 16 = 2 x 8 ...

   1729 iki kübün toplamı olarak iki ayrı biçimde ifade edilebilen en küçük sayıdır.

1729 = 10^3 + 9^3 = 12^3 + 1^3

Bunu ilk fark eden Hintli matematikçi Ramanujan'dır. İlginç olan bu işlemi daha sayıyı duyar duymaz zihninden yapmış olmasıdır. Bu sayıya Ramanujan sayısı denir.

İnsan saç telinin kalınlığının santimetrenin 3/400 u kadar olduğu tahmin ediliyor. Yani, 133 saç telini yan yana koyarsanız 1 cm olur.

    Brahminlerin (Hindistan'da rahipler kastı) sahip oldukları bilgileri diğer kastlardaki kardeşlerinden ve feodal beylerden saklı tutma endişeleri onları Sutralar diye bilinen gizli kodları kullanmaya itmiştir. Aşağıdaki ilahi (Sanskrit) kodlanmış bir matematik bilgisidir:

 

 

GOPI BHAGYAMADUV RATA SHRINGISHODADI SANDIGA,KALA JEEVITARAVA TAVA GALADDHALARA SANGARA nedir?

 

Bu ilahi Tanrı Krishna'ya övgü olarak söylenir. Ondaki gizli anlamı çıkarmak kolay değildir. Fakat kodu çözülünce pi sayısını virgülden sonra 30 basamağa kadar verir.

 

 

 

Şimdi de pisagor teoremini kanıtlayan Pythogoras hakkında bir öykü.

 

Pytho bir gün bir demirci dükkanının önünden geçiyordu. Örse vuran çekiçlerin çıkardıkları ahenkli sesler ilgisini çekti ve durup dinlemeye başladı.

5 demirci çalışıyordu ve her birinde farklı büyüklüklerde çekiç vardı. Pytho çekiçlerden düzenli olarak çıkan seslerin bir müzik parçasına benzediğini duyup hayret etti. Dinledikçe fark etti ki, her çekicin ağırlığının farklı olması, örse vurduklarında değişik notalardan ses vermesini sağlıyordu. Çekiç ne kadar ağırsa nota o kadar düşüktü.

Sonra bir çekicin seslerin ahengini bozduğunu fark etti. Demircilerden çekiçleriyle bir deneme yapmak için izin istedi. Demirciler kabul etti.

Her çekici dikkatle tarttı. Ahengi bozan çekicin basit bir sayı düzenine uymayan ağırlığa sahip olduğunu buldu. (Diğer çekiçlerin ağırlıkları, bir sayı dizisi oluşturacak şekildeydi.) İncelemelerine devam ettikçe, farklı büyüklüklerdeki çekiçlerle bir müzik skalasını nasıl oluşturabileceğini öğrendi.

Bu, bir matematikçi tarafından müzikte yapılan en büyük ve en eski keşiflerden biriydi.

 

Roma Rakamları

Romalılar, sayıları yazmakta bir takım harfler kullanırlardı.

I=1
V=5
X=10
L=50
C=100
D=500
M=1000

Bugün de zaman zaman kullanılan bu harfler, yan yana getirilerek daha büyük sayılar oluşturulabilir. Mesala "35","XXXV" şeklinde yazılır.

Bu sayılar yazılırken bazı uyulması gereken kurallarda vardır.

1- Bir harf, en fazla üç defa yan yana yazılabilir.

2- Bir harfin sağına, kendisinden daha küçük değerli bir harf gelirse, toplanarak okunur. XII=11 , DCX=610 , LXXVII= 77 gibi.

3-Sol tarafa yazıldığında ise çıkarılır. XC=90, IL=49, CD=400 gibi. Sadece bir harf yazılabilir.

4- Hem sağa, hem de sola daha küçük değerli harfler yazılarak farklı rakamlar yazılabilir. CMLI=951, XLVII=47, CDLV=455 gibi.

5- Roma rakamı ile yazılabilecek en büyük ve en uzun sayı "3888" dir.(MMMDCCCLXXXVIII)

6- Çok sık olmamakla beraber daha büyük sayılara ihtiyaç hissettiklerinde harflerin değerini "1000" kat arttırmak için üzerlerine çizgi çizmişlerdir.

üzerine ben çizgi koyamadım ama üzerinde çizgi varmış gibi düşünürseniz;

 

V=5000
X=10000
L=50000
C=100000
D=500000
M=1000000

Dört işlem yapma zorluğu sebebi ile günümüzde fazla kullanılmamaktadır. Bazı usuller geliştirilse de çok büyük sayılara sıra gelince yetersiz kalmaktadır. Ancak yine de bazı kitap sayfalarını numaralandırma, madde işaretleri, saatler gibi kullanım alanları vardır.

 

 

 

9 üzeri 9 üzeri 9

 

 9'un 9. kuvvetinin 9. kuvveti, yani , sadece üç rakamla ifade edilebilen en büyük sayıdır. Bu sayıyı henüz kimse hesaplayamadı. (Denemek ister misiniz?) Bu 369 milyon basamaklı bir sayıdır.

Cevap: 369 milyon basamaklı bir sayıdır.

 

 

 

 

1'den 10 milyara kadar olan sayılar içinde asal olan 664580 sayıyı içeren tablolar yapılmıştır. Bilinen en büyük asal sayı 2127 - 1'dir. Bu sayı 39 basamaklıdır.

 

 

 

Saniyede bir sayı

 

Saniyede bir sayı söyleyerek ve günde 7 saat sayarak 1 milyara kadar saymak isteseydik, bunu ne kadar zamanda yapabilirdik?

 

 

Cevap:

 

sene.

 

 

 

 

Googol nedir?

1 den sonra 100 sıfır yazılarak elde edilen sayıya bu ad verilmiştir (yani, 10^100). Şimdiye kadar isimlendirilen en büyük sayılardan biridir. Googolplex googoldan da büyük bir sayıdır. Bir googolplex 1 den sonra bir googol sıfır yazılarak elde edilen sayıdır. Bu sayıyı yazmak için Dünya-Ay arası uzaklığın yetmeyeceğini iddia edenler var.

 

 

Çok büyük sayıların okunuşu

21323412312334523412345623423467812312345612345678912345678812345

67781234567789123456788

 

Yukarıdaki büyük sayının okunuşu;

"iki oktovigintilyon yüz otuz iki septenvigintilyonüç yüz kırk bir sexvigintilyon iki yüz otuz birkenvigintilyon iki yüz otuz üçkattuorvigintilyon dört yüz elli iki trevigintilyonüç yüz kırk bir dovigintilyon ikiyüz otuz dört unvigintilyon beş yüz altmış ikivigintilyonüç yüz kırk iki novemdesilyonüç yüz kırk altı oktodesilyon yedi yüz seksen bir septendesilyon iki yüz otuz birsexdesilyon iki yüz otuz dört kendesilyonbeş yüz altmış bir kattuordesilyon ikiyüz otuz dört tredesilyon beş yüz altmışyedi dodesilyonsekiz yüz doksan birundesilyon iki yüz otuz dört desilyon beş yüz altmışyedi nonilyon sekiz yüzseksen bir oktilyon iki yüz otuz dört septilyonbeş yüz altmış yedi seksilyon yediyüz seksen bir kentilyon iki yüz otuz dörtkatrilyonbeş yüz altmış yedi trilyonyedi yüz seksen dokuz milyar yüz yirmi üç milyon dört yüz elli altı bin yedi yüz seksen sekiz"

dir

 

 

 

Kriptografi nedir?

 

Teknoloji geliştikçe iletişim yöntemleri de gelişti. Daha önceleri bir bilgiyi ne olursa olsun bir yere ulaştırmak hayati öneme haizken, şimdilerde artık bilgi öyle ya da böyle ulaştırılmak istenen noktaya ulaştırılıyor. Peki bu yeterli mi?
Dünyanın yaradılışından beri süre gelen en büyük mücadele bilgi mücadelesidir. Nasıl avlanmasını bilenlerin karnı doymuş, nasıl savaşmasını bilenler kazanmış, nasıl üretmesini bilenler büyümüştür. Daha fazla bilgiye sahip olanlar daima daha büyük ilerleme kaydetmiş ve daha çok söz sahibi olmuştur. Hal böyle olunca, insanların kafasını önemli bir soru meşgul etmiştir; “Daha fazla bilgiye nasıl ulaşırız?”. Tabiki bu önemli soru geçmişte de pek çok insan tarafından sorulmuş ve karşılığında bilimin ve teknolojinin gelişmesine katkıda bulunulmuştur, ancak bu sefer daha büyük gruplar tarafından, daha çok maddi destek ve kimi zaman ise bir devlet politikası olarak görülüp, bu sorunun derinine ulaşılmaya çalışılmıştır. Zaman ilerledikçe, bir şekilde bilgiye ulaşan gruplar, ülkeler ya da topluluklar için bu yeterli olmamaya başlamıştır. Çünkü ortada mide bulandırıcı bir durum vardır; “Acaba ulaştığımız bilgiler yeterli mi?”. Bu sorunun cevabı aslında bir anlamda başkalarının da nekadar bildiğini anlayabilmekte gizli. Tam da bu noktada, artık bilginin ulaştırılmasından da çok, yanlızca istenilen noktaya ulaşması, istenmeyen ellerden korunması daha önem kazanmıştır. Böyle bir güvenliğin sağlanması hiç bir zaman kolay olmamıştır. Bunun için kimi zaman bayanların cazibesi, kimi zaman en kahraman askerler kullanılmış ve bilginin farklı eller deymeksizin istenilen noktaya ulaştırılması sağlanmaya çalışılmıştır. Gelişen teknoloji, internet ve bilgisayarların ciddi gelişimleri ile birlikte günümüzde bunu yapmak çok daha fazla zorlaşmıştır. Bu nedenle bilgisayar ve bilgisayar ağlarında; şifreleme ve deşifreleme teknikleri yani kriptografi kullanılmaya başlanmıştır.
Kriptografi temelde bazı ana konulara yönelir. Bu alanlardan birincisi gizliliktir. Bilgi kesinlikle istenmeyen kişilerin eline geçememelidir. Bir diğeri ise bütünlüktür. Gönderilen bilgi bir bütün halinde olmalıdır, davetsiz misafirler doğru bilgiyi yanlış bir bilgi ile değiştirme imkanına sahip olmamalıdırlar. Bilgi gönderen ya da hazırlayan daha sonra, bunu kendisinin gönderdiğini rededememelidir. Son olarak gönderen ve alıcı birbirlerinin kimliklerini doğrulayabilmelidirler. Davetsiz bir misafir başka birinin kimliğine bürünememelidir.
Şifrelenmiş bir veri şifrelimetindir. Bu metni geri çevirme durumuna ise şifre çözümü denir. İşte bu verilerin güvenliğini sağlayanlara kriptograf, bu bilime ise kriptografi denir. Bunun yanı sıra, şifrelerin analiz edilmesi ve şifre biliminide kapsayan bir matematik dalı vardır ki bu da kriptolojidir.
Veri Şifreleme yaparken Açık ve Gizli olmak kaydı ile iki tür sistem kullanılır. Açık Anahtarlı sistemler kullanılarak yapılan veri şifrelemelerinde, her kişinin açık ve gizli olarak anahtarlara sahip olması gerekir. Gizli anahtarlar sadece sahibinin ulaşabileceği şekilde saklanmalıdır. Aksi takdirde şifrelemenin bir anlamı kalmaz çünkü açık anahtar herkesin ulaşabileceği pozisyondadır. Dolayısı ile tabiki bu iki şifre arasında matematiksel bir bağ olması gerekir. Bu anahtarların ve bağın oluşturulmasında, çok ciddi matematik problemleri kullanıldığından, açık anahtara ulaşan herhangi birinin gizli anahtarı ele geçirmesinin imkansız olduğu düşünülür. Bu tarz sistemler sadece metin alışverişlerinde kullanılmaz. Sayısal imza uygulamalarında, kimlik denetiminde, banka güvenliğinin sağlanmasında, internet üzerinde yapılan alışverişlerde ve daha pek çok yerde kullanılır.
Açık Anahtarlı sistemler temelde şu şekilde işler; İki kişi vardır, birer açık ve birer gizli anahtarları vardır. Birbirlerine gönderecekleri mesajı, açık anahtarları ile şifrelerler, fakat gelen mesajları deşifre etmek için sadece kendilerinde bulunan gizli anahtarları kullanırlar. Örneğin internet üzerinden bir alışveriş yapmak istediğimizde, herkes şirketin açık anahtarını kullanarak kredi kartlarını şifrelerler, ancak gizli anahtarı sadece şirket bildiği için, dışardan gelen dinlemelere karşı güvenlidir.
Burada eğer açık ile gizli anahtar birbirlerine eşitse, sistem simetrik olarak adlandırılır. Aksi durumlarında sistem asimetriktir. Bu açıdan güveliğin herzaman kontrol altında olabilmesi için gizli anahtar daima istenilen kişinin ulaşabileceği bir noktada olmalıdır.
Daha öncede vurguladığım gibi açık anahtarlı sistemlerde karmaşık ve çözülememiş matematiksel problemler kullanılır. Bu nedendendir ki, simetrik sistemlere göre daha yavaştırlar. Dolayısı ile bu sistemlerde anahtar boyutları da yine simetrik sistemlerdeki anahtar boyutlarından daha büyüktür.
Algoritmalardaki bütün güvenlik tamamen anahtara bağlıdır. Herhangi birinin algoritmanızı bilmesi bir şeyi değiştirmez. Anahtarınızı bilmediği sürece, algoritmanızı incelemesi, bir güvenlik açığı oluşturmaz. Dolayısı ile bir sisteme yapılan saldırılar, tamamen o sistemin anahtarının bulunmasına yöneliktir. Bunun içinse, çeşitli saldırı yöntemleri kullanılır. Seçilmiş Açık Metin Saldırısı, Sadece Şifreli Metin Saldırısı, Bilinen Açık Metin Saldırısı, vs.
Yukarıdaki bilgiler, kimimiz için yararlı olabilirken, kimimiz için yetersiz olabilir. Bu durum içine affınıza sığınırım. Amacım kriptografi hakkında genel bir bilgi verip, ilgi duyan ve türkçe kaynak sıkıntısı çekenlerimize, en azından temel anlamda bir şeyler oturtması için yardımda bulunmaktır. Umarım en az bir kişi için bir faydası olmuştur.

 

 

 

 

Kaos Teorisi

 

 

Kaos teorisi, sayısal bilgisayarların ve onların çıktılarını çok kolay görülebilir hale getiren ekranların ortaya çıkmasıyla gelişti ve son on yıl içinde popülerlik kazandı. Ancak kaotik davranış gösteren sistemlerde kestirim yapmanın imkansızlığı bu popüler görüntüyle birleşince, bilim adamları konuya oldukça kuşkucu bir gözle bakmaya başladılar. Fakat son yıllarda kaos teorisinin ve onun bir uzantısı olan fraktal geometrinin, borsadan meteorolojiye, iletişimden tıbba, kimyadan mekaniğe kadar uzanan çok farklı dallarda önemli kullanım alanları bulması ile bu kuşkular giderek yok olmaktadır.
Teoriye temel oluşturan matematiksel ve temel bilimsel bulgular, 18.yüzyıla, hatta bazı gözlemler antik çağlara kadar geri gidiyor. Yunan ve Çin mitolojilerinde yaradılış efsanelerinde başlangıçta bir kaosun olması rastlantı değil. Özellikle Çin mitolojisindeki kaosun, bugün bilimsel dilde tanımladığımız olgularla hayret verici bir benzerliği olduğunu görüyoruz. Batı'da da daha sonraki dönemlerde bilim adamları tarafından karmaşık olgulara dair gözlemler yapılmıştır. Poincare, Weierstrass, von Koch, Cantor, Peano, Hausdorff, Besikoviç gibi çok üst düzey matematikçiler tarafından bu teorinin temel kavramları oluşturulmuştur.
Karmaşık sistem teorisinin ardında yatan yaklaşımı felsefe, özellikle de bilim felsefesi açısından inceleyecek olursak, ortaya ilginç bir olgu çıkıyor. Aslında bugün pozitif bilim olarak nitelendirdiğimiz şey, batı uygarlığının ve düşünüş biçiminin bir ürünüdür. Bu yaklaşımın en belirgin özelliği, analitik oluşu yani parçadan tüme yönelmesi (tümevarım).
Genelde karmaşık problemleri çözmede kullanılan ve bazen çok iyi sonuçlar veren bu yöntem gereğince, önce problem parçalanıyor ve ortaya çıkan daha basit alt problemler inceleniyor. Sonra, bu alt problemlerin çözümleri birleştirilerek, tüm problemin çözümü oluşturuluyor. Ancak bu yaklaşım görmezden gelerek ihmal ettiği parçalar arasındaki ilişkilerdir. Böyle bir sistem parçalandığında, bu ilişkiler yok oluyor ve parçaların tek tek çözümlerinin toplamı, asıl sistemin davranışını vermekten çok uzak olabiliyor.
Tümevarım yaklaşımının tam tersi ise tümdengelim, yani bütüne bakarak daha alt olgular hakkında çıkarsamalar yapmak. Genel anlamda tümevarımı Batı düşüncesinin, tümdengelim i Doğu düşüncesinin ürünü olarak nitelendirmek mümkündür. Kaos yada karmaşıklık teorisi ise, bu anlamda bir Doğu-Batı sentezi olarak görülebilir. Çok yakın zamana kadar pozitif bilimlerin ilgilendiği alanlar doğrusallığın geçerli olduğu, daha doğrusu çok büyük hatalara yol açmadan varsayılabildiği alanlardır. Doğrusal bir sistemin girdisini x, çıktısını da y kabul edersek, x ile y arasında doğrusal sistemlere özgü şu ilişkiler olacaktır:

Bu özellikleri sağlayan sistemlere verilen karmaşık bir girdiyi parçalara ayırıp her birine karşılık gelen çıktıyı bulabilir, sonra bu çıktıların hepsini toplayarak karmaşık girdinin yanıtını elde edebiliriz. Ayrıca, doğrusal bir sistemin girdisini ölçerken yapacağımız ufak bir hata, çıktının hesabında da başlangıçtaki ölçüm hatasına orantılı bir hata verecektir. Halbuki doğrusal olmayan bir sistemde y’yi kestirmeye çalıştığımızda ortaya çıkacak hata, x'in ölçümündeki ufak hata ile orantılı olmayacak, çok daha ciddi sapma ve yanılmalara yol açacaktır. İşte bu özelliklerinden dolayı doğrusal olmayan sistemler kaotik davranma potansiyelini içlerinde taşırlar.
Kaos görüşünün getirdiği en önemli değişikliklerden biri ise, kestirilemez determinizmdir. Sistemin yapısını ne kadar iyi modellersek modelleyelim, bir hata bile (Heisenberg belirsizlik kuralı'na göre çok ufak da olsa, mutlaka bir hata olacaktır), yapacağımız kestirmede tamamen yanlış sonuçlara yol açacaktır. Buna başlangıç koşullarına duyarlılık adı verilir ve bu özellikten dolayı sistem tamamen nedensel olarak çalıştığı halde uzun vadeli doğru bir kestirim mümkün olmaz. Bugünkü değerleri ne kadar iyi ölçersek ölçelim, 30 gün sonra saat 12'de hava sıcaklığının ne olacağını kestiremeyiz. Bu görüş paralelinde ortaya konan en ünlü örnek ise Kelebek Etkisi denen modellemedir. Bu modelleme, en basit haliyle şu iddiayı taşır : "Çin de kanat çırpan bir kelebek ABD de bir fırtınaya neden olabilir".

 

 

 

 

Kelebek Etkisi

 

 

Kelebek Etkisi, bir sistemin başlangıç verilerindeki ufak değişikliklerin, büyük ve öngörülemez sonuçlar doğurabilmesine verilen isimdir. İsmi, Edward N. Lorenz'in hava durumuyla verdiği örnekten geliyor: Amazon Ormanları'nda bir kelebeğin kanat çırpması, Avrupa'da fırtına kopmasına sebep olabilir.
Kelebek Etkisi'ni 1963 yılında Edward N. Lorenz bilgisayarıyla hava durumuyla ilgili hesaplar yaparken buldu. İlk hesaplamasında 0,506127 sayısını başlangıç verisi olarak kullandı. İkinci hesaplamada ise 0,506 sayısını verdi. İki sayı arasında sadece yaklaşık 1/1000 (binde bir), yani bir kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarla eşdeğerde fark olmasına rağmen, süreç içinde ikinci hesap birinci hesaba karşın çok farklı neticeler verdi.
Not: Lorenz'in 1963 de yayınlanan orijinal araştırması bir martının kanadını çırpmasının, hava durumunu sonsuza dek değiştireceğinden bahsetmektedir. Daha sonra verdiği konferanslarda Lorenz martıyı daha romantik olan kelebek ile değiştirdi. Ayrıca binde birlik fark ile kelebeğin kanat çırpmasının yarattığı rüzgarın arasında bilimsel bir ilişkinin olduğundan bahsettiğini zannetmiyorum, bu sebeple eşdeğer kelimesi yukarıdaki paragrafta doğru kullanılmamıştır. Aşağıdaki resim, Lorenz differensiyal denkelerinin AB-3 metodu kullanılarak simule edildikten sonra x ve z eksenlerinin birbirne karşı çizilmesi ile elde edilmiştir. Bu sonuç bir çok kişi tarafından bir kelebeğe benzetilmektedir

 

 

 

 

Şifrelemenin Tarihi

 

Heredot’un anlattıklarına göre eski Yunan’da şifreli bir mesaj gönderilmek istendiğinde, kölelerin kafa derisi üzerinde mesajlar aktarılmaktaydı. Önce bir kölenin kafası traş edilir, daha sonra da ilgili mesaj kafasına kazınır ve saçlarının uzaması beklenirdi. Birkaç ay sonra da köle, hedefine doğru yola çıkar ve gittiği yerde tekrar kafası traş edilerek mesaj okunurdu.
Artık ne kölelerimiz ne de aylar boyu bekleyecek zamanımız var. Ayrıca pek zarif bir fikir olmayan bu yöntem yerine gelişen zaman içerisinde pek çok yeni yöntem keşfedilmiştir. Örneğin Roma imparatoru Julius Sezar generallerine gönderdiği mesajların okunmaması için üç yana kaydırma mantığını kullanan bir şifreleme yöntemi geliştirmiştir. Sezar, mesajlarındaki yazılarda, örneğin “A” harfi yerine “D”, “B” harfi yerine “E” kullanmaktaydı. Oldukça basit ve hedefine ulaşan bu yöntem o çağın şartları için yeterli olmuştur.
Gelişen zaman içerisinde değişen şifreleme yöntemleri birbirini izlemiş, kimi zaman çözülen bir şifre imparatorlukların kaderini değiştirmiştir. Örneğin 1587 yılında İngiliz Kraliçesini devirmek için adamlarıyla haberleşmede kullandığı basit değiştirme yöntemi çözülen İskoçya Kraliçesi, bu hatasını idam edilerek ödemiştir.
1. Dünya savaşında Almanların çözmemesi için bir Amerikan Telefon ve Telgraf şirketinden bir çalışan olan Gilbert Vernam tarafından hazırlanan “bir kerelik bloknot” yöntemi, savaş boyunca Amerika Birleşik Devletleri’nin mesaj güvenliğini sağlamıştır. Bu sistemde şifrelenecek metin ASCII kodundaki karakterlere dönüştürülür ve bir kez şifreyi çözmede kullanılacak gizli anahtar, mesajı okuyan kişi tarafından imha edilirdi. Böylece tek seferlik mesajlaşmalar güvenli bir iletişimi oluştururdu.
2. Dünya savaşında ise filmlere konu olan Enigma makinesi Almanların en güvendiği şifreleme tekniğiydi, ta ki; Ruslara esir düşen bir Alman savaş gemisinde ele geçirilen Enigma makinesinin İngilizlere şifre kırıcılar tarafından çözülmesi, savaşın kaderini değiştirmiştir. Almanların tüm haberleşmesini dinleyen İngilizler, bu bilgi ile uzun süre Almanların ne yapacaklarını erkenden öğrenip ona göre taktik hazırlama şansına sahip olmuşlardır.
Enigma makinesi temel olarak; klavyesinden girilen karakterlerin makine içerisinde birbiri ile değişik şekillerde algoritma oluşturacak şekillerde yazıları kodlayan üç adet diskten oluşmaktaydı. Enigma’daki diskler Almanlar tarafından önce 5’e ve daha sonra da 8’e çıkarılmıştır. Ancak büün bu tedbirler İngilizlerin ilk bilgisayarların atalarından olan, IBM bilgisayar sistemi ile kodları çözmesini engelleyemedi.
Enigma’nın şifresinin çözülmesi ile bilgisayarları yakınlaştıran bu süreç, sonraki zamanlarda bilgisayarların şifreleme işlemlerinde daha çok kullanılması ve günümüzde de vazgeçilmez bir parçası olma durumunu getirmiştir.
Günümüz bilgisayar destekli şifreleme teknikleri oldukça, yüksek bilgi gerektiren karmaşık güvenlik önlemleriyle yoğrulmuş teknikler içerir. Her biri bir öncekinden daha güvenli olduğunu iddia ederken, her geçen gün bir öncekinin nasıl şifresinin nasıl kırıldığına şahit olmaktayız. Dolayısıyla öğrendiğimiz temel yöntem teorik olarak hiçbir şifreleme yönteminin kırılamaz olmadığı ve sonlu bir süre sonunda şifresinin çözüleceğidir. Belki 1 ay belki 1000 ay sonra ama mutlaka tüm şifrelerin çözülebileceği unutulmaması daima tavsiye olunmakta.
Bu yazıda bu şifreleme yöntemlerinden biz kullanıcılar için en etkili kullanılacak alan olan evimizdeki, işyerimizdeki dosya ve klasörlerimizin şifrelenerek korunmasıyla ilgili yazılımlardır. Her birimizin basit ve kullanışlı bir teknikle, şüpheli gözlerden saklanmasını isteyeceğimiz dokümanlar bulunabilir. Örneğin işyerindeki bir satış raporu, veya sevgilimize yazdığımız bir şiirin, bilgisayarımızı kullanan diğer kişilerce görünmesini istememek en doğal hakkımız!
Yalnız dikkat edilmesi gereken en temel nokta, hangi programı kullanırsak kullanalım, şifrelemekte kullandığımız bir parola mutlaka olacaktır. Bu parolayı asla unutmamalı ve başkalarının görebileceği ortalık bir yerde bulundurmamalıyız. Yoksa bütün bu karmaşık matematiksel formüllere dayanan şifreleme mantığının temelinde yatan “insan” faktörü devreye girer ve şifremiz çözülür!

 

Klasik Şifreleme Teknikleri

Tarih içerisinde değişik teknikler kullanılarak şifreli mesajlar iletilmeye çalışılmıştır. Bir dönem uygulanan kölelerin kafasına kazılan yazılarla mesajlaşma haricinde, şu teknikler de kullanılmaktaydı;
Harf İşaretleme: Bir yazı içerisindeki bazı karakterlerin daha derin kazılmasıyla ancak belli bir açıdan gelecek ışıkla okunan yazılar.
Görünmez Mürekkep: Belirli bir ısıda veya kimyasal bir sıvıya batırılarak okunur hale gelen yazılar.
İğne Delikleri: Yazıdaki belirli karakterler iğne ile delinerek işaretlenmesi temeline dayanıyordu.
Sezar Tekniği: Bilinen en eski “yerine koyma“ tekniğidir. Her harf alfabedeki kendinden üç sonraki harfin yerine konularak yazışmalar yapılmaktaydı

 

 

 

Aşkın sayı

 

Matematikte cebirsel olmayan herhangi bir reel sayıya aşkın sayı denir. Diğer bir deyişle, katsayıları tamsayı (ya da rasyonel) olan bir polinomun kökü olamayan reel sayılara aşkın sayı denir. Buradan, tüm aşkın sayıların irrasyonel olduğu sonucuna varılabilir. Ancak tüm irrasyonel sayılar aşkın sayı değildir, örneğin ?2 irrasyoneldir, ancak x2 - 2 = 0 polinomunun bir köküdür.

Aşağıdaki e ve pi sayıları aşkın sayı olarak bilinir ..